Una colaboración de Vania Gutierrez
¿Qué significa número áureo?
¿DE QUÉ SE TRATA EL NÚMERO DE ORO?
Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece repetidamente en las conversaciones matemáticas. Es el número de oro, Φ (FI), también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte como observaremos más tarde. Compitiendo con el número irracional PI (∏) en popularidad y aplicaciones, Φ está ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucesión de Fibonacci. Aparece repetidamente en el estudio de muchos de los elementos de la biología.
Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades matemáticas y algebraicas interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción.
ESCULTURA DE FIDIAS EN GRACIA: Se piensa que el numero de oro se le denominó fi porque fue objetivo de intensos estudios de célebre escultor griego Fidias.
Fibonacci
El número phi está directamente relacionado con la secuencia de Fibonacci. Fibonacci (Leonardo de Pisa) fue un matemático italiano del siglo XIII que describió una secuencia de números mediante los cuales se llegaba a phi, también difundió en Europa el sistema de numeración actualmente utilizado. Recapituló y divulgó el conocimiento matemático, realizando aportaciones al álgebra y a la teoría de los números (como Phi).
Leonardo de Pisa recibió el apodo de Fibonacci debido a su padre (cuyo apodo era Bonacci) [Fi=hijo de]. Fibonacci y su padre viajaron por gran parte del norte de África, donde Fibonacci aprendió el sistema de numeración árabe. Leonardo de Pisa también viajó con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo por los países del Mediterráneo para estudiar y conocer las matemáticas de otros lugares, que luego escribiría en sus famosos libros de cálculo.
Propiedades del número áureo
Phi es un número irracional cuyas características están relacionadas con las representaciones de trigonometría, fracciones continuas, otras propiedades dicen lo siguiente:
– Una potencia negativa de Φ corresponde a una potencia positiva de su inverso, que vuelve a darnos el número de oro.
- La conocida ecuación del número
– Una propiedad interesante es que Phi es el único número real positivo que cumple lo siguiente:
Vamos a demostrarlo:
Esta propiedad se cumple con otras potencias de Phi:
Con todo esto podemos generalizar que:
La solución positiva es Phi, la negativa es el recíproco de Phi y se denomina con la letra , observamos que la solución negativa es la parte decimal de la positiva.
División de un segmento en proporción áurea
La escuela Pitagórica obtuvo el número de oro como la razón entre la diagonal y un lado de un pentágono regular. El número de oro se simboliza con la letra phi y su valor numérico es:
Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.
Uno de los mayores tesoros de la geometría es la división de un segmento en una proporción extrema media que se puede comparar a una medida de oro.
El rectángulo áureo
Para hacer el rectángulo ÁUREO dibujamos un cuadrado. Sobre este cuadrado marcamos el punto medio de uno de los lados. A continuación trazamos un arco de circunferencia cuyo radio sea desde este punto medio, hasta el vértice superior tratando de encontrar la prolongación del lado inferior.
Éste va a ser el primer vértice de nuestro rectángulo áureo. El segundo lo obtenemos trazando paralelas a los lados del cuadrado. A partir de ahora obtener rectángulos áureos es fácil, basta con trazar solo sobre el lado más largo del rectángulo anterior un cuadrado, y así obtendríamos nuestro segundo rectángulo áureo.
Si sobre este nuevo rectángulo áureo, trazamos otro cuadrado, cuyo lado sea la longitud del lado mayor del rectángulo, obtendremos un tercer rectángulo áureo. Estos rectángulos tienen una propiedad interesante: si unimos mediante arcos de circunferencias los vértices consecutivos de los cuadrados, obtendremos una curva especial que se llama espiral de Durero.
Durero fue un de los artistas del Renacimiento alemán más importantes de la época. Fue conocido en todo el mundo por sus pinturas, dibujos, grabados y escritos teóricos sobre arte, que ejercieron una profunda influencia en los artistas y matemáticos (debido a su famosa espiral) del siglo XV.
El triangulo áureo
También los triángulos están relacionados con el número aureo. Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.
Por lo tanto, los tres puntos están alineados.
Pitagoras y su escuela
La naturaleza presenta con sospechosa frecuencia la forma relacionada con los pentágonos. ¿Estos fenómenos estarán relacionados con el número de oro? Para responder a esta pregunta tenemos que remontarnos a un símbolo que utilizaba la escuela pitagórica, Pitágoras y su escuela.
Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, aunque también estudió y clasificó los números. Pitágoras afirmaba que “todo es matemáticas”, y viajó a Mesopotamia y Egipto para estudiarlas. De él se creía que oía voces sobrenaturales, podía encantar a los animales y obrar milagro. Entre la jerga de filósofos se llegó a especular con su estado mental hasta el punto de ser considerado un loco.
Todas estas especulaciones se dieron a cabo tras descubrir que la escuela de los Pitagóricos constituían una sociedad secreta de carácter religioso-filosófico y sus adeptos de identificaban entre sí utilizando este símbolo, este símbolo se llama pentagrama o pentágono estrellado.
Los pitagóricos consideraban que los números constituyen la esencia y el principio de todas las cosas. La escuela también afirmaba que la estructura del universo era aritmética y geométrica. El sistema que desarrollaron les ayudó a entender la relación entre la naturaleza humana y divina e implicaba para ellos la existencia de algún código secreto (el extraño parentesco de todos los seres vivos). Las certezas que buscaban los pitagóricos eran las verdades universales del conocimiento de uno mismo y sus investigaciones giraban en torno a encontrar una manera de aplicar estas verdades al mundo real. La filosofía pitagórica se basaba en un intento de describir la armonía subyacente a la existencia y la naturaleza del universo perfecto mediante números.
En el pentagrama aparecen cuatro segmentos de distintas longitudes, todos estos segmentos están relacionados entre sí mediante el número de oro. De esta manera el cociente entre el primero y el segundo es exactamente la razón áurea. Pero el cociente entre el segundo y el tercero también es la razón áurea y así sucesivamente.
La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios
Construcción del Pentágono regular y del Decágono regular a partir de la división áurea de un segmento
Euclides, siglo III a.c. definió la división de un segmento en media y extrema razón para construir mas fácilmente estos polígonos regulares.
También encontramos este apasionante número en uno de los poliedros platónicos, el icosaedro. El icosaedro puede formarse uniendo los vértices de tres rectángulos áureos perpendiculares.
