Un oculta faceta de un problema de matemáticas, que se remonta a los pergaminos en sánscrito, ha sido expuesta por los investigadores de nanotecnología de la Universidad de Michigan y la de Connecticut.

Resulta que nos hemos estado perdiendo una versión del famoso «problema de empaquetado«, y su nueva apariencia podría tener implicaciones para el tratamiento del cáncer, las redes inalámbricas seguras, la microelectrónica y las demoliciones, según los investigadores.

El «problema de relleno», busca la mejor manera de cubrir el interior de un objeto con una forma peculiar, como el relleno de un triángulo con discos de diversos tamaños. A diferencia del ‘problema de empaquetado’ tradicional, los discos pueden solaparse. Y también se diferencia del «problema de recubrimiento«, porque los discos no pueden extenderse más allá de los límites del triángulo.

«Aparte de presentar el problema, proporcionan una solución en dos dimensiones», señala Sharon Glotzer, profesora de ingeniería química.

Esta solución hace que sea de aplicación inmediata en el tratamiento de los tumores usando un menor número de disparos con haces de radiación, o de acelerar la fabricación de chips de silicio para los microprocesadores.

La clave de estas soluciones en cualquier dimensión es la de encontrar una forma de «esqueleto», dijo Carolyn Phillips, becaria postdoctoral en el Laboratorio Nacional Argonne, que recientemente terminó su doctorado en el grupo Glotzer y resolvió el problema como parte de su tesis.

«Cada forma que se quiere rellenar tiene una eje vertical que pasa por el centro de la forma, como una espina dorsal», explicaba.

Para un pentágono, el esqueleto se parece al pictograma de una estrella de mar. Los discos que rellenan mejor el pentágono siempre tienen sus centros en una de esas líneas.

Las uniones entre las líneas del esqueleto son los puntos especiales que el equipo de Glotzer denomina «trampas». El pentágono sólo tiene una trampa, justo en su centro, pero las formas más complicadas pueden tener múltiples trampas. En las soluciones más óptimas, cada trampa tiene un disco centrado sobre ella, agregó Phillips.

Otros discos del patrón cambian de tamaño y se mueven, dependiendo de cuántos discos están permitidos, pero los que están sobre las trampas son siempre los mismos. Phillips sospecha que si se utiliza un diseño de discos suficientes, cada trampa tendrá un disco centrado sobre ella.

En su artículo, publicado en línea en Physical Review Letters, los investigadores informan de las reglas para encontrar el tamaño ideal y el espaciamiento de los discos que rellenan la forma. En el futuro, esperan revelar un algoritmo que puede coger la forma y el número de discos deseado, o la forma y el porcentaje de la superficie a cubrir, y diseñar el mejor patrón para rellenarlo.

Al extender este enfoque en tres dimensiones, Glotzer propone que se pueda decidir la ubicación de los routers inalámbricos en un edificio, allí donde la señal no deba estar disponible para un hacker potencial en el estacionamiento. Alternativamente, podría ayudar a los trabajadores de la demolición a provocar explosiones de gran precisión, asegurándose de que la explosión corresponda a la región deseada y que no se extienda más allá de las paredes externas del edificio.

Phillips espera que las soluciones de relleno sean científicamente útiles. El equipo de Glotzer desarrolló el nuevo problema, procurando hallar la manera de representar formas multilaterales para sus modelos computerizados de nanopartículas. Además en la nanotecnología, la biología y la medicina, a menudo, necesitan modelos para formas complejas, como los de las proteínas.

«No es algo deseable tener que modelar cada uno de los miles de átomos que forman esta proteína», dijo Phillips. «Lo que estaría bien sería un mínimo modelo que le dé forma, permitiendo a las proteínas interactuar en modo llave-cerradura, como se hace en la naturaleza.»

El enfoque de relleno puede ser el ajuste perfecto para una variedad de campos.

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