Ha vuelto a ser noticia la demostración ontológica del matemático Kurt Gödel (1906–1978) de la existencia de Dios. Se trata de un simple ejercicio de lógica modal que Gödel realizó en 1941 sin mayor interés desde el punto de vista teológico. Su idea era corregir el gran problema de la demostración de San Anselmo. Aunque Gödel era creyente, no era practicante, por lo que nunca habló de la demostración hasta febrero de 1970, cuando pensaba que se acercaba la hora de su muerte. Le enseñó la demostración a su alumno Dana Scott, filósofo y matemático, quien hizo una copia para poderla publicar, pero Gödel no se lo permitió. Tras su muerte, Scott publicó dos versiones de la demostración en 1987 (de hecho, Gödel atesoraba varias). Desde entonces se han publicado muchas otras versiones que refinan los detalles de la demostración. En esta entrada me centraré en la versión de C. Anthony Anderson, “Some emendations of Gödel’s ontological proof,” Faith and Philosophy 7: 291-303, 1990, y su discusión detallada por Christopher Small, “Kurt Gödel’s Ontological Argument,” Part I, Part II & Part III.

Recomiendo leer la entrada en la wikipedia “Gödel’s ontological proof,” a Trébede, “La prueba matemática de Gödel de la existencia de Dios,” Rescoldos en la trébede, 30 Jun 2011, y la divertida e ingeniosa entrada de Enrique, “Pikachu existe y puedo demostrarlo,”Cuentos Cuánticos, 02 Nov 2013. Prometí mencionar a Pikachu en esta entrada y más abajo lo encontrarás.

Ante todo, te aclaro lo que no vas a encontrar en esta entrada: una explicación en detalle la demostración (la figura de abajo es la versión que aparece en la wikipedia). Lo que pretendo es justificar el tipo de demostración siguiendo la línea de la discusión de Christopher Small. Por supuesto, debes tener presente que en todas las demostraciones matemáticas de la existencia de Dios el argumento es similar. Se define un objeto matemático llamado “Dios” que cumple con una propiedad muy sencilla y se introducen una serie de reglas de razonamiento lógico (axiomas) asociados a dicha propiedad. La demostración matemática procede paso a paso hasta asegurar la existencia de este objeto en un universo en el que sean válidas dichas reglas. Nada más y nada menos. No hay ninguna relación entre el objeto matemático “Dios” y lo que tú puedas pensar que es Dios, seas creyente o ateo.

La demostración ontológica de Gödel es una versión moderna del argumento ontológico para la existencia de Dios de San Anselmo de Canterbury (1033–1109), un monje benedictino que fue arzobispo de Canterbury desde 1093 hasta su muerte. Su argumento, de forma resumida, es el siguiente: “Por definición, Dios es aquello de lo cual nada mayor puede concebirse. Por tanto, es imposible concebir que Dios no existe, pues de lo contrario podríamos concebir algo mayor que él, a saber, un Dios que sí exista. Así pues, es inconcebible que Dios no exista; luego existe.”

Esta demostración utiliza argumentos de lógica modal, aunque la lógica modal no se formalizó de forma rigurosa hasta principios del siglo XX. La razón por la que no se usa la lógica de predicados ya se conocía en la época de Anselmo, se puede demostrar la existencia de Dios de una forma mucho más corta (aunque menos satisfactoria): “Si no es cierto que “Dios existe implica que castigará a los buenos”, entonces Dios existe.” Esta demostración es resultado de la siguiente paradoja de la implicación lógica: Si no es cierto que P implica Q, entonces P. Recuerda que la implicación lógica “P implica Q” significa que si P es falso, “P implica Q” es verdadero, y si P es verdadero, “P implica Q” es verdadero o falso según lo sea Q. La implicación lógica presenta múltiples paradojas, como que si Q es verdadero, entonces “P implica Q” es verdadero para todo P (incluso sin que haya ninguna relación entre P y Q). Estas paradojas resultan extrañas para la intuición, rayando lo absurdo. Para evitar estas paradojas la demostración de Gödel utiliza el sistema S5 de la lógica modal de Lewis y Langford (1932).

El lógico estadounidense Clarence I. Lewis (1883-1964) formalizó en 1918 la lógica modal introduciendo la llamada implicación estricta para evitar las paradojas de la implicación lógica. La lógica modal extiende la lógica de predicados con las nociones modales de “necesidad” (o “es necesario que”), “posibilidad” (o “es posible que”), “imposibilidad” y “contingencia”. Una proposición verdadera es llamada proposición necesaria (por necesariamente verdadera). Una falsa es llamada imposible. Las demás se llaman contingentes. Una proposición posible es la que no es imposible. Son posibles todas las verdaderas y necesarias. Se define P implica estrictamente a Q si y sólo si necesariamente P implica a Q. En esta entrada no puedo discutir en detalle las diferencias entre la lógica de predicados y la lógica modal, ni puedo definir todos los operadores y reglas de inferencia que utiliza. Los interesados encontrarán mucha más información en lawikipedia.

El mayor problema de la lógica modal es la semántica pues no existe una única interpretación (un único universo modelo para dicha lógica). Por ello se suele decir que la semántica de la lógica modal refleja la idea del multiverso (describe todos los universos posibles). Hay varias lógicas modales, pero la más completa y que mejor expresa las intuiciones semánticas de todos los mundos posibles es llamada S5. que incluye el axioma “si es posible que P sea necesario, entonces P es necesario”, que permite razonar que “si P es necesario, es necesario que lo sea”, que “si P es posible, es necesario que lo sea” y que “si P es contingente, es necesario que lo sea”. La gran ventaja de la lógica modal S5 es que se pueden reemplazar todos los operadores modales por cuantificadores cuyo domino son todos los universos posibles.

Demostrar la existencia de Dios en una lógica modal S5 es fácil. Charles Hartshorne ideó en 1962 la siguiente argumentación. Para demostrar que “Dios existe” hay que demostrar que “existe un objeto en un universo que tiene la propiedad de ser máximamente perfecto”. Para ello se argumenta como sigue: Como resulta que “si Dios existe es necesario que exista” y “es posible que Dios exista”, deducimos la conclusión “es necesario que Dios exista.” Omito la formulación en símbolos y la demostración, que son fáciles de encontrar en la web.

Todas las demostraciones que hemos visto hasta ahora se basan en asignar al concepto de “Dios” una propiedad de máximo. La demostración de Gödel, por el contrario, trata de usar un argumento de mínimo, por eso se centra en la “esencia” de las propiedades positivas que caracterizan a Dios. Pero antes de discutirla en más detalle, permíteme una curiosidad para relajar la tensión.

Hay quienes hacen sudokus para pasar el rato y quienes los usan para entrenar su mente. A estos últimos les recomiendo estudiar teoría axiomática de conjuntos. Sólo ellos podrán disfrutar de la demostración de Gödel de la existencia de Dios. Un buen punto de partida es el maravilloso librito de Jesús Monterín, “Teoría axiomática de conjuntos,” Ariel, Barcelona, 1971. He de confesar que, siendo adolescente, estudié este libro gracias al ejemplar que había en la Biblioteca Pública de Fuengirola (supongo que seguirá allí). No lo he vuelto a leer, pero tengo muy buen recuerdo. Rellené libretas enteras repitiendo las demostraciones de mi puño y letra. Hoy en día ya se me ha olvidado todo lo que estudié. Los años no pasan en balde.

Como ya he comentado el argumento ontológico de Gödel para la existencia de “Dios” es una versión revisada del argumento ontológico de Anselmo. La mejor manera de formalizar un argumento ontológico sobre la existencia de “Dios” es usar la lógica modal. Definir a Dios como creador del universo, como omnipotente o como omnisciente no permite construir una demostración de su existencia utilizando la lógica modal. Por ejemplo, un argumento de tipo “Dios es omnisciente; Dios sabe que existe; luego Dios existe” no se puede formalizar; lo máximo que podríamos demostrar es que “posiblemente Dios existe”, es decir, la existencia de Dios sería una verdad contingente, pero nunca una verdad necesaria.

La clave para construir una demostración de la existencia necesaria de Dios es definirlo utilizando su esencia. Si definimos que “el Papa es una persona que viste de blanco”, cualquier persona que vista de blanco sería el Papa, lo que es falso. Para definir al Papa tenemos que utilizar una propiedad esencial que le caracterice de forma unívoca; por ejemplo, “el Papa es el obispo de Roma”. Otra propiedad esencial es “llevar puesto el anillo papal.” En general, para definir un objeto sólo debemos usar propiedades esenciales de dicho objeto. En lógica modal una propiedad de un objeto es esencial si es necesario que ese objeto tenga dicha propiedad. Cualquier otra propiedad es contingente y pueden existir otros objetos que tengan dicha propiedad. La esencia de un objeto es una propiedad esencial a partir de la cual se pueden derivar todas las demás propiedades esenciales de dicho individuo. La esencia de ser Papa puede ser “ser el obispo de Roma” que implica la propiedad esencial “llevar puesto el anillo papal” y cualquier otra propiedad esencial.

¿Cuál es la esencia de Dios? Para Anselmo la existencia es una propiedad esencial de Dios, como también lo son que Dios es el creador de todo, que Dios es omnipotente, omnisciente, etc. Dios es aquello por lo que es imposible que exista un ser superior en ningún aspecto. El problema del argumento ontológico de San Anselmo, como criticaron Immnauel Kant y otros filósofos, es que el concepto de “existencia no es una propiedad”. Gödel sustituye este concepto por la propiedad de que sea “necesaria su existencia”, un cambio sutil para el lego, pero muy importante desde el punto de vista formal, semántico e interpretativo en lógica modal.

Para entender mejor la demostración de Gödel conviene recordar la demostración de San Anselmo escrita en lógica modal. Seguiré aquí la versión del filósofo Charles Hartshorne (1962). El primer axioma de Anselmo es “Axioma 1: Es posible que Dios exista”. Este axioma no distingue entre lo concebible y lo posible. Yo puedo concebir un número entero par mayor que dos que no se puede escribir como la suma de dos números primos. Sin embargo, el hecho de que yo lo conciba como un entero no significa que posiblemente exista. La idea de Anselmo es que es imposible concebir un ser más grande que Dios, por ello propone el “Axioma 2: Si la existencia de Dios es posible, entonces es necesaria”. Para Anselmo Dios tiene como propiedad esencial la máxima perfección. A partir de los dos axiomas anteriores la lógica modal S5 permite demostrar que “Dios existe necesariamente”.

Una parodia del argumento sería la siguiente. Definición: Un Pikachu es un pokémon amarillo que se parece al roedor llamado pika y que existe. Por lo tanto la lógica modal permite demostrar que Pikachu existe. Obviamente, esta demostración no resiste un análisis matemático riguroso. La definición que hemos hecho de un Pikachu no refleja su esencia (aunque quizás en Cuentos Cuánticos no opinen lo mismo).

El mayor problema de la demostración de Anselmo es el primer axioma, ya que la posibilidad de la existencia de Dios no implica la necesidad de la existencia de Dios. Gödel trata de transformar el Axioma 1 en un teorema introduciendo axiomas más fundamentales. Para ello, siguiendo a Gottfried Leibniz, decide dar un rodeo argumental que pasa por describir las propiedades esenciales y la esencia de Dios. Gödel considera que las propiedades esenciales de Dios son propiedades positivas, es decir, son cualidades buenas. Se puede pensar que hay un contenido moral en este concepto. Sin embargo, Gödel no formaliza el contexto moral de estas propiedades, para él una propiedad es positiva en un sentido de pura atribución intrínseca (un concepto metafísico que me llevaría demasiado tiempo discutir aquí). La relación con lo moral o lo estético es una cuestión accidental para Gödel, sin mayor importancia y por tanto no es necesario describirla en la demostración. Quizás el lector opine todo lo contrario (como César@EDocet en este tuit), pero así es la demostración de Gödel.

Permíteme discutir ahora la demostración de la existencia de Dios de Gödel en su versión de Anderson. Presentaré los axiomas, las definiciones y los teoremas sin demostración (los interesados la pueden estudiar en detalle en la web de Christopher Small). Mi idea es explicar por qué son como son, sin preocuparme por los detalles formales de la demostración. Espero que esto ayude a los lectores interesados en tener una idea de la lógica argumental de la demostración.

Axioma 1: “Una propiedad es positiva si y sólo si su negación es negativa”. Axioma 2: “Una propiedad es positiva si contiene necesariamente una propiedad positiva”. Estos dos axiomas de carácter técnico son necesarios en la lógica modal S5 para demostrar el primer teorema: “Teorema 1: Una propiedad positiva es lógicamente consistente, es decir, existe algún objeto con dicha propiedad y por tanto todo lo positivo es posible”. La consistencia lógica también es llamada ejemplificación, es decir, que si no hay ningún objeto que tenga cierta propiedad, entonces esta propiedad no puede ser positiva. Gödel sigue la línea argumental de Leibniz en que la esencia de Dios es “independiente de la estructura accidental del mundo”. Nuestro mundo contiene el bien y el mal, pero el mal de este mundo sólo puede ser accidental y no es necesario. Decir lo contrario contradice el Axioma 2. El Teorema 1 declara que lo bueno (las propiedades positivas) siempre es posible (siempre son posibles), lo que apoya el siguiente principio de Kant (fuerte opositor del argumento ontológico): “Deber ser implica poder ser”, es decir, si uno tiene la obligación de hacer algo, entonces debe ser posible hacerlo.

Para definir a Dios como el objeto cuya esencia es la perfección absoluta, primero hay que introducir lo que es la esencia. Definición 1: “Una propiedad es la esencia de un objeto si y sólo si el objeto tiene dicha propiedad y esta propiedad es necesariamente mínima, es decir, todas las propiedades esenciales del objeto se derivan de su esencia.” Nada implica que la esencia sea única, pero la minimalidad sugiere cierta unicidad. La cuestión de si cada individuo tiene una esencia está en el corazón del existencialismo de Jean-Paul Sartre, no entraré en más detalles.

La siguiente etapa del argumento de Gödel es definir el significado de la palabra “Dios”.Definición 2: “Algo es “semejante-a-Dios” si y sólo si posee la esencia de todas las propiedades positivas, es decir, si todas sus propiedades esenciales son positivas y si su esencia es tener todas las propiedades positivas.” Esta definición como tal no implica que haya un único objeto semejante-a-Dios. Además, esta definición tampoco implica que todas las propiedades de Dios sean positivas, sólo sus propiedades esenciales tienen que serlo. Desde el punto de vista matemático lo más importante es que se usa un cuantificador (“todas sus propiedades”) lo que significa que hay que interpretar estas propiedades en todos los mundos posibles. La interpretación de la lógica modal siempre se realiza en el sentido semántico del multiverso (el conjunto de todos los universos posibles).

El tercer concepto que introduce Gödel es la propiedad de existencia necesaria. La crítica de Kant a Anselmo se basa en que la existencia no es una propiedad, luego Gödel define“Definición 3: Decimos que algo existe necesariamente si tiene una propiedad esencial.”Puede parecer obvio que la propiedad ser semejante-a-Dios es positiva, pero es imposible demostrarlo con todo lo anterior. El problema es que no se puede demostrar que tener un conjunto de propiedades positivas sea una propiedad positiva. Luego Gödel introduce elAxioma 3: “Ser semejante-a-Dios es una propiedad positiva.” En este momento Gödel puede demostrar el primer axioma de Anselmo que afirma que posiblemente Dios existe.Corolario 1: “Ser semejante-a-Dios es una propiedad lógicamente consistente, es decir, existe algún objeto con dicha propiedad”. Esto no es una demostración de que Dios existe, pues hay que trabajar más para demostrar que Dios necesariamente existe. Pero el primer gran paso ya ha sido dado.

Si las propiedades positivas de Dios son maximales, tenemos que añadir el siguienteAxioma 4: “La existencia necesaria es una propiedad positiva.” Ahora ya se puede demostrar el siguiente Teorema 2: “Si un objeto es semejante-a-Dios, entonces ser semejante-a-Dios es la esencia de dicho objeto”. Y ya casi se ha acabado la demostración pues para demostrar el teorema final basta seguir el argumento de Anselmo. Teorema 3: “Necesariamente existe un ser semejante-a-Dios.”

¿Se trata de una demostración “correcta” de la existencia de Dios? Obviamente se trata de una demostración matemática correcta en la lógica modal S5, pero cada persona tiene una idea diferente de lo que es Dios. En esta demostración no hay contenido teológico. Quizás algunos filósofos puedan quedar satisfechos, pero en general poca gente lo estará. Incluso si el argumento es correcto en todos sus aspectos, como no se especifica qué es una “atribución pura” para una propiedad positiva, bien se podría haber demostrado que alguna ecuación matemática que rige el universo es lo semejante-a-Dios que necesariamente existe.

¿Se puede sustituir “semejante-a-Dios” por “pikachiano” y obtener una demostración de la existencia de Pikachu? Obviamente, no. Pero si queréis echar unas risas…

PS: Por cierto, en relación a la noticia esta semana sobre el logro de los científicos Christoph Benzmüller, de la Universidad Libre de Berlín, y Bruno Woltzenlogel, de la Universidad Técnica de Viena, me gustaría aclarar que sólo han verificado por ordenador la demostración del matemático Kurt Gödel de la existencia de Dios. El nuevo trabajo de Benzmüller y Woltzenlogel valida la demostración mediante un software de demostración automática de teoremas. Esto no aporta nada nuevo a la demostración, sólo confirma que el software funciona correctamente.

La demostración de Gödel de la existencia de Dios